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第12章打劫系统（第3页）

冰冷无情的状态下，赵寒风的心中没有一丝一毫的激动，机械的翻找出一整张都是函数题的数学卷子。

这种题对于别人来说很简单，但随便的一改数据，他就不会做了。

第23题：

已知函数f（x）=ln（x+1）-x（x+1）

（1）求f（x）的单调区间

（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

（3）求证：对任意的正数a与b，恒有lna-lnb大于等于1-ba

看了一眼题型，赵寒风闭目沉思了一下。

再睁眼时，嘴角微挑，冰冷无情的脸上染上了一抹自信色彩。

中性笔不停的移动，一排排的数字和字符在试卷上不断闪现。

解：

（1）函数f（x）=ln（x+1）-x（x+1）

f'（x）=1（x+1）-1（x+1）2

由f'（x）＞0?x＞0；

由f'（x）＜0?-1＜x＜0；

f（x）的单调增区间（0，+），单调减区间（-1，0）

（2）

f'（x）=1x+1-1（1+x）2，

f（1）=ln2-12f'（1）=14

当x=1时，y'=14，得切线的斜率为14，所以k=14；

所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：

y-ln2+12=14x（x-1），即x-4y+4ln2-3=0.

故切线方程为x-4y+4ln2-3=0

（3）所证不等式等价为lnab+ba-10

而f（x）=ln（1+x）+（1x+1）-1，设t=x+1，则f（t）=lnt+1t-1，

由（1）结论可得，f（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，

由此f（t）min=f（1）=0

所以f（t）f（1）=0

即f（t）=lnt+1t-10

记t=ab

代入得：lnab+ba-1>=0